이차함수는 EJU 수학 코스1에서 거의 매회 출제되는 핵심 단원입니다. 이 글에서는 시험에 자주 나오는 유형별로 핵심 개념과 풀이 전략을 정리합니다.
이차함수의 기본 형태
이차함수는 일반형, 표준형, 인수분해형 세 가지로 표현할 수 있습니다.
- 일반형: y = ax² + bx + c
- 표준형: y = a(x - p)² + q (꼭짓점이 (p, q))
- 인수분해형: y = a(x - α)(x - β) (x절편이 α, β)
각 형태는 서로 변환 가능하며, 문제에 따라 가장 적합한 형태를 선택하는 것이 풀이 속도를 높이는 핵심입니다. 꼭짓점 좌표를 물으면 표준형으로, x절편을 물으면 인수분해형으로 변환하세요.
그래프의 이동과 대칭
평행이동
y = f(x)의 그래프를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y - q = f(x - p)가 됩니다. 부호가 반대임에 주의하세요. 이것은 EJU에서 매우 자주 출제되는 유형입니다.
대칭이동
- x축 대칭: y를 -y로 치환
- y축 대칭: x를 -x로 치환
- 원점 대칭: x, y를 모두 -로 치환
대칭이동 문제는 기계적으로 치환만 하면 되므로, 공식을 확실히 외워두면 빠르게 풀 수 있습니다.
최대값과 최솟값
정의역이 주어진 경우
이차함수의 최대·최솟값 문제에서 가장 중요한 것은 축(꼭짓점의 x좌표)과 정의역의 위치 관계입니다. 축이 정의역 안에 있는지, 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지에 따라 최대·최솟값을 구하는 방법이 달라집니다.
a > 0 (아래로 볼록)인 경우:
- 축이 정의역 안에 있으면: 꼭짓점에서 최솟값
- 축이 정의역 밖에 있으면: 축에 가까운 끝점에서 최솟값
축이 움직이는 경우
매개변수 t에 따라 축이 움직이는 문제는 장문 문제로 자주 출제됩니다. 정의역을 고정하고 축의 위치를 경우에 따라 나누어 분석하는 것이 핵심 전략입니다. 보통 3가지 경우(축이 왼쪽, 안쪽, 오른쪽)로 나뉩니다.
이차방정식과 이차부등식
이차함수 y = ax² + bx + c에서 판별식 D = b² - 4ac의 부호에 따라:
- D > 0: 서로 다른 두 실근 (그래프가 x축과 두 점에서 만남)
- D = 0: 중근 (그래프가 x축에 접함)
- D < 0: 실근 없음 (그래프가 x축과 만나지 않음)
이차부등식은 그래프를 그려서 풀면 직관적으로 이해할 수 있습니다. x축보다 위인 부분, 아래인 부분을 시각적으로 파악하세요.
시험장에서의 시간 관리 팁
이차함수 문제는 보통 대문제 하나에 소문제 3~4개로 구성됩니다. 전체 시험 시간을 고려하여, 이차함수 대문제에는 15분 이내로 풀 것을 권장합니다. 앞 소문제에서 구한 결과가 뒤 소문제의 조건으로 사용되는 경우가 많으므로, 앞 문제의 정확도가 매우 중요합니다.
